المتطابقات المثلثية

المتطابقات المثلثية Trigonometric Identities



لقد اثبتنا سابقا القاعدة : جا²ﮬ + جتا ² ﮬ = 1 . . . (1) حيث انها صحيحة مهما يكن قياس الزاوية ﮬ ، مثل هذه العلاقات تسمى متطابقات ، ومن الامثلة المشهورة الاخرى على هذه المتطابقات،

اولا : المتطابقة ظا ²ﮬ+ 1 = قا² ﮬ . . .(2)

والتي يمكن الحصول عليها بقسمة طرفي المتطابقة (1) اعلاه على جتا²ﮬ ،

حيث جتا ﮬ ≠ 0

ثانيا : المتطابقة 1+ ظتا²ﮬ = قتا²ﮬ . . . (3)

والتي يمكن الحصول عليها بقسمة طرفي المتطابقة (1) اعلاه بقسمة طرفي المتطابقة (1) اعلاه على جا ²ﮬ ، حيث جاﮬ ≠ 0

ملاحظة : يمكن استخدام المتطابقات الثلاث اعلاه وغيرها من الحقائق الرياضية في اثبات صحة متطابقات اخرى:



مثال : اثبت ان جتا²ﮬ - جا²ﮬ = 2جتا²ﮬ - 1

الحل: الطرف الايمن = جتا ²ﮬ - جا ²ﮬ ، لكن من المتطابقة (1) اعلاه ينتج ان : جا²ﮬ = 1- جتا ²ﮬ

= 2جتا²ﮬ -1

=الطرف الايسر ، وهو المطلوب



مثال : اثبت ان 1 + ظا²ﮬ = ظا²ﮬ ( لكن 1+ظا²ﮬ =قا²ﮬ ،1+ظتا²ﮬ =قتا²ﮬ)

1 + ظتا ²ﮬ



الحل : الطرف الايمن = 1 + ظا²ﮬ ( لكن 1+ظا²ﮬ =قا²ﮬ ،1+ظتا²ﮬ =قتا²ﮬ)

1 + ظتا ²ﮬ

1

جتا²ﮬ

= قا²ﮬ = 1

قتا²ﮬ جا²ﮬ

=جا²ﮬ = ظا ²ﮬ = الطرف الايسر ، وهوالمطلوب

جتا²ﮬ







مثال : اثبت صحة المتطابقة 1 - جتا²ﮬ = 1 - جتاﮬ

1 + جتاﮬ

الحل: الطرف الايمن = 1 - جتا²ﮬ = ( 1-جتاﮬ )(1+جتاﮬ) = 1-جتاﮬ

1 + جتاﮬ ( 1+جتاﮬ )

= الطرف الايسر



مثال : اثبت صحة المتطابقة جتاﮬ = 1 - جاﮬ

1 + جاﮬ جتا ﮬ

الحل: الطرف الايمن = جتاﮬ = ( جتاﮬ )(1-جا ﮬ)=(جتاﮬ )(1-جاﮬ)

1 + جاﮬ (1 + جاﮬ )( 1-جا ﮬ ) 1 – جا ²ﮬ

=(جتاﮬ )(1-جا ﮬ ) من المتطابقة (1)

(جتا ﮬ )²

= 1 – جا ﮬ = الطرف الايسر

جتا ﮬ



لاحظ اننا اثبتنا صحة المتطابقات في الامثلة السابقة اعلاه وذلك بالبدء بأحد الطرفين والحصول على الطرف الآخر ، ويمكن استخدام طرق اخرى لاثبات المتطابقات بأن نأخذ كل طرف على حدة ونبين أنهما يساويان كمية واحدة:









اسئلة :





اثبت صحة المتطابقات الاتية :

أ‌) جتا ²ﮬ - جا²ﮬ = 1 -2جا²ﮬ



ب‌) قا⁴ س - قا² س = ظا ²س+ظا⁴ س



ت‌) ظتا س قاس = قتا س



ث‌) ظا ﮬ + ظتا ﮬ = قاﮬ × قتا ﮬ



ج‌) (جاﮬ+جتاﮬ) ² = 1+ 2 جاﮬ جتاﮬ